角平分线优质课教案整理

13.5.3角平分线

教材分析

《角平分线》选自九年义务教育课程标准实验教科书华东师大版八年级（上册）。这节课的内容是在学生已经认识了角平分线，学习了三角形全等，懂得作已知角的平分线，如何过一已知点作已知直线的垂线的基础上，进一步学习角平分线的内容。通过本节课的学习，使学生认识到以直观感知操作来确认获得结论的方法的局限性和利用逻辑推理进行证明的必要性，为进一步学好逻辑推理打下基础。

学情分析

学生的知识技能基础: 在本章前面几节课中，学生已经认识了角平分线，学习了

三角形全等，懂得作已知角的平分线，如何过一已知点作已知直线的垂线，为接下来

的学习莫定了知识和仅能基础。学生活动经验基础: 有相关知识的学习过程中，学生以懂得用折叠方法获得简单的现实问题; 同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学校的过程，具有一定的合作学习的经验，具备了一定的合作和交流能力。

教学目标

知识与技能 掌握角平分线的性质定理和判定定理,能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题. 过程与方法 让学生通过自主探索,运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的重要结论,并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别. 情感、态度与价值观 通过认识的升华,使学生进一步理解数学,也使学生关注数学、热爱数学. 重点难点

重点 角平分线的性质定理和判定定理,能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题. 难点 灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题.

教学策略

先让学生动手操作观察得出角平分线的性质，在引导学生用逻辑推理的方法加以证明。通过对“到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上”这个定理的证明，让学生进一步掌握推理论证的方法，学会用公理证明有关的定理，解决一些简单的逻辑推理问题。本节课主要培养学生自主探究，合作交流，解诀问题的能力，是学生养成言之有理的正确的思维习惯。

学法指导

以学生归纳，分析，合作交流为主，教师给予点拨，指导，总结。

教学媒体

多媒体课件

教学过程

一、温故知新

1、角平分线的定义

2、下图中能表示点P到直线a的距离的是_______________

二、探究新知

（1）动手操作：如图,OC是∠AOB的角平分线,点P是OC上的任意一点,做PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,将∠AOB沿OC对折，观察PD与PE是否会完全重合?

设计意图：让学生积极思考，调动学生学习的积极性，为学生接受新知做好铺垫. （2）猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等

条件：一个点在一个角的平分线上

结论：这个点到角两边的距离相等

已知：OC是∠AOB平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足. 求证：PD＝PE.

分析

观察图形发现PD、PE分别落在△OPD与△OPE中，要证明PD=PE，只要证明△OPD≌△OPE.由已知：OC是∠AOB平分线可得∠AOC＝∠BOC，由PD⊥OA，PE⊥OB可得∠ODP＝∠OEP＝90º，又因为OP为公共边可得三角形全等.

证明：∵ OC是∠AOB平分线

∴

∠AOC＝∠BOC ∵ PD⊥OA， PE⊥OB ∴

∠ODP＝∠OEP＝90º

在△OPD和△OPE中

∴

△OPD≌△OPE ∴ PD＝PE 设计意图：让学生经历动手操作、验证的过程，发现角平分线上的点到这个角的两边距离相等，并用推理方法验证猜想，通过证明两个三角形全等，从而得到PD＝PE。

用符号语言表示为: ∵OP平分∠AOB,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,点D、E为垂足

∴PD=PE.

易错练习：

(1)∵如图，AD平分∠BAC（已知）

∴BD=CD,(在角平分线上的点到角两边的距离相等).

(2)

∵如图，DC⊥AC，DE⊥AB(已知）

∴BD=CD,(在角平分线上的点到角两边的距离相等）

(3)∵如图，AD平分∠BAC,DC⊥AC，DE⊥AB(已知）

∴BD=CD,(在角平分线上的点到角两边的距离相等).

三、合作探究

教师提问:你能写出这个性质定理的逆命题吗?这个命题是否是真命题呢？如果是，请你证明它。

教师活动：1、引导学生写出角平分线性质定理的逆命题. 2、让学生猜想：这个点是否在这个角的角平分线上？

3、引导学生表达结论，写出已知、求证、证明. 学生活动：小组合作，猜想结论，验证并表达结论，讨论推理过程，动手写出证明. 逆命题 到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上

已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上. 分析

要证点P在∠AOB的平分线上，即PO是∠AOB的平分线，画射线OP，只要证∠AOP＝∠BOP，利用H.L.证明△DOP≌△EOP，得∠AOP＝∠BOP. 证明：过点O作射线OP ∵ PD⊥OA，PE⊥OB ∴

∠PDO＝∠PEO＝90º

在Rt△DOP与Rt△EOP中

∴ Rt△DOP≌Rt△EOP ∴

∠AOP＝∠BOP

∴ OP是∠AOB的平分线

即点P在∠AOB的平分线上

设计意图：让学生借助数学画板作为认知工具，经历实验、验证的过程，让学生讨论，培养学生合作精神，鼓励学生发表自己的见解. 用符号语言表示为: ∵ PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,且PD=PE ∴ OP平分∠AOB（或点P在∠AOB的平分线上）

针对性练习

1、如图1，在△ABC中，已知∠C=900，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E.且DE＝3cm，BD=5cm,则BC=______ 2、如图2，已知∠AOB=600,CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E,且CD=CE,则∠DOC=______

提升练习

1、如图3，∠B=∠D=900,根据角平分线的性质填空：

（1）若∠1=∠2，则___=___ （2）若∠3=∠4，则___=___ 2.如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,DE⊥BC于E,且BC=8 cm,求△DEC的周长.

实际应用

如图，AB，AC，BC是某公园三条两两相交的小路，管理人员为了方便游人休息，打算修建一个小亭子，使小亭子到三条小路的距离相等．请你工作人员选好位置．

（[解析]

要使小亭子到AB，AC边的距离相等，根据角平分线的性质定理，可知小亭子应在∠CAB的平分线上；到AB，BC边的距离相等，应在∠ABC的平分线上，所以分别作两角的平分线，便可确定符合要求的小亭子的位置．到三条直线距离都相等的点应有4个,即两对角平分线的交点,以及相邻外角平分线的交点. 总结：实际问题中若提到诸如“到三条线的距离相等”，需作角的平分线解决．

六、课堂小结

1、角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等. 2、角平分线判定定理：到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3.性质定理与判断定理的关系：

点在角平分线上 点到角两边的距离相等