1.4.1 全称量词全国优秀课堂实录

2021-05-04 23:55:56 | 64人点❤ | 1Y币
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1.4.1全称量词与存在量词(一)量词

教学过程:

二、活动尝试

所有已知人类语言都使用量化,即使是那些没有完整的数字系统的语言,量词是人们相互交往的重要词语。我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题,而是更多的给予它数学的意境。

问题2:下列命题中含有哪些量词?

(1)对所有的实数x,都有x2≥0;

(2)存在实数x,满足x2≥0;

(3)至少有一个实数x,使得x2-2=0成立;

(4)存在有理数x,使得x2-2=0成立;

(5)对于任何自然数n,有一个自然数s 使得

s = n ×

n;

(6)有一个自然数s 使得对于所有自然数n,有

s = n ×

n;

上述命题中含有:“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词。

三、师生探究

命题中除了主词、谓词、联词以外,还有量词。命题的量词,表示的是主词数量的概念。在谓词逻辑中,量词被分为两类:一类是全称量词,另一类是存在量词。

全称量词:如“所有”、“任何”、“一切”等。其表达的逻辑为:“对宇宙间的所有事物x来说,x都是F。”例句:“所有的鱼都会游泳。”

存在量词:如“有”、“有的”、“有些”等。其表达的逻辑为:“宇宙间至少有一个事物x,x是F。”例句:“有的工程师是工人出身。”

含有量词的命题通常包括单称命题、特称命题和全称命题三种。

单称命题:其公式为“(这个)S是P”。例句:“这件事是我经办的。”单称命题表示个体,一般不需要量词标志,有时会用“这个”“某个”等。在三段论中是作为全称命题来处理的。

全称命题:其公式为“所有S是P”。例句:“所有产品都是一等品”。全称命题,可以用全称量词,也可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达,甚至有时可以没有任何的量词标志,如“人类是有智慧的。”

特称命题:其公式为“有的S是P”。例句:“大多数学生星期天休息”。特称命题使用存在量词,如“有些”、“很少”等,也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等。含有存在性量词的命题也称存在性命题。

问题3:判断下列命题是全称命题,还是存在性命题?

(1)方程2x=5只有一解;

(2)凡是质数都是奇数;

(3)方程2x2+1=0有实数根;

(4)没有一个无理数不是实数;

(5)如果两直线不相交,则这两条直线平行;

(6)集合A∩B是集合A的子集;

分析:(1)存在性命题;(2)全称命题;(3)存在性命题;(4)全称命题;(5)全称命题;(6)全称命题;

四、数学理论21世纪教育网

1.开语句:语句中含有变量x或y,在没有给定这些变量的值之前,是无法确定语句真假的.这种含有变量的语句叫做开语句。如,x<2,x-5=3,(x+y)(x-y)=0. 2.表示个体常项或变项之间数量关系的词为量词。量词可分两种:

(1) 全称量词

日常生活和数学中所用的“一切的”,“所有的”,“每一个”,“任意的”,“凡”,“都”等词可统称为全称量词,记作

等,表示个体域里的所有个体。

(2) 存在量词

日常生活和数学中所用的“存在”,“有一个”,“有的”,“至少有一个”等词统称为存在量词,记作

等,表示个体域里有的个体。

3.含有全称量词的命题称为全称命题,含有存在量词的命题称为存在性称命题。

全称命题的格式:“对M中的所有x,p(x)”的命题,记为:

存在性命题的格式:“存在集合M中的元素x,q(x)”的命题,记为:

注:全称量词就是“任意”,写成上下颠倒过来的大写字母A,实际上就是英语"any"中的首字母。存在量词就是“存在”、“有”,写成左右反过来的大写字母E,实际上就是英语"exist"中的首字母。存在量词的“否”就是全称量词。

五、巩固运用

例1判断以下命题的真假:

(1)

(2)

(3)

(4)

分析:(

1)真;(2)假;(3)假;(

4)真;

例2指出下述推理过程的逻辑上的错误:

第一步:设a=b,则有a2=ab

第二步:等式两边都减去b2,得a2-b2=ab-b2 第三步:因式分解得

(a+b)(a-b)=b(a-b)

第四步:等式两边都除以a-b得,a+b=b 第五步:由a=b代人得,2b=b 第六步:两边都除以b得,2=1 分析:第四步错:因a-b=0,等式两边不能除以a-b

第六步错:因b可能为0,两边不能立即除以b,需讨论。

心得:(a+b)(a-b)=b(a-b)

a+b=b是存在性命题,不是全称命题,由此得到的结论不可靠。

同理,由2b=b 2=1是存在性命题,不是全称命题。

例3判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题,如果是,用量词符号表达出来。

(1)中国的所有江河都注入太平洋;

(2)0不能作除数;

(3)任何一个实数除以1,仍等于这个实数;

(4)每一个向量都有方向;

分析:(1)全称命题,

河流x∈{中国的河流},河流x注入太平洋;

(2)存在性命题,

0∈R,0不能作除数;

(3)全称命题,

x∈R,

(4)全称命题,

有方向;

六、回顾反思

要判断一个存在性命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真;要判断一个存在性命题为假,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为假。

要判断一个全称命题为真,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为真;但要判断一个全称命题为假时,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假。

即全称命题与存在性命题之间有可能转化,它们之间并不是对立的关系。

七、课后练习

1.判断下列全称命题的真假,其中真命题为(

)[来源:21世纪教育网] A.所有奇数都是质数

B.

C.对每个无理数x,则x2也是无理数

D.每个函数都有反函数

2.将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题,下列说法正确的是(

A.

,都有

B.

,都有

C.

,都有

D.

,都有

3.判断下列命题的真假,其中为真命题的是

A.

B.

C.

D.

4.下列命题中的假命题是(

A.存在实数α和β,使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ

B.不存在无穷多个α和β,使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ

C.对任意α和β,使cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

D.不存在这样的α和β,使cos(α+β) ≠cosαcosβ-sinαsinβ

5.对于下列语句

(1)

(2)

(3)

(4)

其中正确的命题序号是

。(全部填上)

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