2.基本不等式优质课教案内容

2019-05-04 17:15:00 | 178人点❤ | NoneY币
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第2课

基本不等式

教学目标:1.理解并掌握重要不等式(定理1)和基本不等式(定理2). 2.能运用这两个不等式解决函数的最值或值域问题,能运用这两个不等式证明一些简单的不等式. 教学过程设计:

引入:知识点

基本不等式

思考

回顾a2+b2≥2ab的证明过程,并说明等号成立的条件.

答案

a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,即a2+b2≥2ab,

当且仅当a=b时,a2+b2=2ab. 知识梳理

(1)重要不等式

定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.

(2)基本不等式

a+b①定理2:如果a,b>0,那么2≥ab,当且仅当a=b时,等号成立

. ②定理2的应用:对两个正实数x,y,

(ⅰ)如果它们的和S是定值,则当且仅当x=y时,它们的积P取得最大值;

(ⅱ)如果它们的积P是定值,则当且仅当x=y时,它们的和S取得最小值. 例题讲解:类型一

不等式的证明

例1

已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1. 111求证:a+b+c≥9. 证明

方法一

∵a,b,c为正实数,且a+b+c=1,

111a+b+ca+b+ca+b+c∴++=++

abcabcbcacab=3+a+a+b+b+c+c

bacacb=3+a+b+a+c+b+c

≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c时,等号成立.

111∴a+b+c≥9.

方法二

∵a,b,c∈R+,且a+b+c=1,

111111∴a+b+c=(a+b+c)a+b+c

bcacab=1+a+a+b+1+b+c+c+1 bacacb=3+a+b+a+c+b+c

≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c时,等号成立.

111∴a+b+c≥9. 跟踪训练1

已知a,b,c,d∈R+,求证:(ab+cd)·(ac+bd)≥4abcd;

证明

(1)∵a,b,c,d,∈R+,

∴ab+cd≥2abcd,ac+bd≥2acbd,

∴(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd. 当且仅当a=d且b=c时取等号

类型二

利用基本不等式求最值

12例2

(1)设x>0,y>0且2x+y=1,求x+y的最小值;

12(2)若x<0,求f(x)=x+3x的最大值.

12124xy12解

(1)x+y=x+y×1=x+y(2x+y)=4+y+x≥4+24xy11且仅当y=x,即x=4,y=2时,等号成立,

12∴x+y的最小值是8. 1212(2)∵x<0,∴-x>0, 故f(x)=--x+3-x≤-236=-12,当且仅当-x=-3x,即x=-2时,等号成立,∴f(x)的最大值是-12. 12跟踪训练2

若实数a,b满足a+b=ab,则ab的最小值为(

) A.2

B.2

C.22

D.4 答案

C 12解析

因为a+b=ab,所以a>0,b>0,

4xyy·x=4+4=8,当

12因为ab=a+b≥2 12a×b=22ab,

所以ab≥22(当且仅当b=2a时取等号),所以ab的最小值为22. 类型三

利用基本不等式解决恒成立问题

π1p例3、对于x∈0,2,不等式sin2x+cos2x≥16恒成立,则p的取值范围为(

) 1p解析

要使sin2x+cos2x≥16恒成立,必有p>0. p1p1+又∵sin2x+cos2x=sin2xcos2x·(sin2x+cos2x) cos2xpsin2x=1+p+sin2x+cos2x

≥1+p+2p=(p+1)2,当且仅当psin2x=cos2x时,等号成立.

∴(p+1)2≥16,即p+1≥4,

∴p≥3,∴p≥9. 19跟踪训练3已知x>0,y>0且满足x+y=6,则使不等式x+y≥m恒成立的实数m的取值范围为________.

19x+y19解析

因为x>0,y>0,x+y=6×x+y

y9x11810++=6xy≥6×(10+6)=3. y9x当且仅当x=y时等号成立,又x+y=6,x>0,y>0,

39得x=2,y=2. 8-∞,所以m的取值范围是. 3达标检测:1.下列不等式中,正确的个数是(

) a+b①若a,b∈R,则2≥ab;

②若x∈R,则x2+2+21>2;

x2+21③若x∈R,则x+1+2≥2;

x+1

a+b④若a,b∈R+,则2≥ab. A.0

B.1

C.2

D.3 答案

C 解析

显然①不正确;③正确;

对②,虽然x2+2=如a=1,b=4. 5.下列说法中,正确的个数是(

) 1①函数y=x+x的最小值是2;

π9②函数y=cos x+cos xx∈0,2的最小值为6;

1③若正数a,b满足2a+b=2,则ab的最大值为2. A.0

B.1

C.2

D.3 答案

B 11解析

当x>0时,y=x+≥2,当且仅当x=,即x=1时,等号成立,当x<xx0时,-y=(-x)+11≥2,当且仅当-x=,即x=-1时,等号成立,所以-x-x11无解,但x2+2+2>2成立,故②正确;④不正确,x+2x+22π9y≤-2,所以①错误;由x∈0,2,得cos x∈(0,1),所以y=cos x+cos x>10,11所以②错误;由2=2a+b≥22ab,得ab≤2,当且仅当a=2,b=1时,等号成立,所以③正确.

1.对于基本不等式的应用,如果能熟练掌握一些常见结论,可使应用更加灵活快捷.

22a+b2a+b≤(1)ab≤2. 2a+b(2)ab≤

2≤

a2+b22(a,b∈R+).

ba(3)a+b≥2(a,b同号).

11(4)(a+b)a+b≥4(a,b∈R+).

(5)a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 2.利用基本不等式求最值,关键是对式子进行恰当的变形,合理构造“和式”与“积式”的互化,必要时可多次应用基本不等式.注意一定要求出使“=”成立的自变量的值,这也是进一步检验是否存在最值的重要依据.

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