2.基本不等式课堂实录【3】

2019-06-14 07:36:00 | 2131人点❤ | NoneY币
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1.1.2 基本不等式

一、核心素养目标

1.通过两个探究实例,引导学生从几何图形中获得两个基本不等式,了解基本不等式的几何背景,体会数形结合的思想和抽象的数学素养;

2.进一步提炼、完善基本不等式,并从代数角度给出不等式的证明,组织学生分析证明方法,加深对基本不等式的认识,提高逻辑推理论证能力;

3.结合课本的探究图形,引导学生进一步探究基本不等式的几何解释,强化数形结合的思想,培养直观想象的数学素养;

4.借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题,通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件(一正二定三相等)在解决最值中的作用,提升解决问题的能力,增强数据分析的数学素养. 二、教学重点

理解定理1和定理2(基本不等式).

三、教学难点

掌握用基本不等式求一些函数的最值

四、教学过程

1.课题导入

基本不等式abab的几何背景:

2如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2.讲授新课

1.探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图,在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为a2b2。这样,4个直角三角形的面积的

和是2ab,正方形的面积为ab。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式:ab2ab。

当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有2222a2b22ab。

2.得到结论:定理1:如果a,bR,那么a2b22ab(当且仅当ab时取""号)

3.思考证明:你能给出它的证明吗?

证明:因为

a2b22ab(ab)2

当ab时,(ab)20,当ab时,(ab)20,

所以,(ab)20,即(a2b2)2ab.

设计意图:

充分体现学生的主体地位,给学生创造联想的空间。三个问题的设置引导学生逐步探索,最终通过自己的发现而得到重要不等式,并且明确等号成立时的情形。分步设问有效排除了障碍,又显得水到渠成。

接着提出问题:当a,b为任意实数时,ab2ab成立吗?若成立,请给出证明. 设计意图:让学生利用前面学过的比较法结合初中学习的完全平方公式给出代数证明。让学生由直观感觉上升到理性证明,既体现数学的严谨性,又巩固了比较法的应用。

4.1)从几何图形的面积关系认识基本不等式ab22ab

2特别的,如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ,可得ab2ab,

ab(a>0,b>0)

2ab

2)从不等式的性质推导基本不等式ab

2通常我们把上式写作:ab用分析法证明:

要证 abab (1) 2只要证 a+b (2) 要证(2),只要证 a+b- 0 (3)

要证(3),只要证 ( - ) (4)

显然,(4)是成立的。当且仅当a=b时,(4)中的等号成立。

2

3)理解基本不等式abab的几何意义

2设计意图:让学生亲自完成代换过程,亲身体验知识的生成过程,既在无形中渗透了代换的思想,又拓展了学生的思维。

通过代换得到ab2ab后,强调常写成abab种形式,为后面两个概念埋2下伏笔,继而引导学生挖掘该式适用的范围及等号成立的条件。

探究:

在右图中,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式ab何解释吗?

易证Rt△ACD∽Rt△DCB,那么CD=CA·CB 即CD=ab. 这个圆的半径为2ab的几2ababab,其中当且仅当点C与,显然,它大于或等于CD,即22ab几何意义是“半径不小于半弦”

2圆心重合,即a=b时,等号成立. 因此:基本不等式abababa,bR得到结论:定理2:如果, 那么2(当且仅当ab时, 等号成立).

评述:1.如果把ab看作是正数a、b的等差中项,ab看作是正数a、b的等比中项,2ab为a、b的算术平均数,称ab为a、b的几何平均数.本2那么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中,我们称节定理还可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. [补充例题] 9例1 (1)已知x>0,求f(x)=x+的最小值;

x(2)已知lg a+lg b=2,求a+b的最小值;

1(3)已知m,n>0,且m+n=16,求mn的最大值.

2【自主解答】

(1)∵x>0,∴由基本不等式可得

9f(x)=x+≥2x99x·=6,当且仅当x=,即x=3时,f(x)取到最小值6;

xx(2)由lg a+lg b=2可得lg ab=2,即ab=100,且a>0,b>0,

因此由基本不等式可得a+b≥2ab=2100=20,

当且仅当a=b=10时,a+b取到最小值20. (3)∵m,n>0且m+n=16,

m+n16所以由基本不等式可得mn≤()2=()2=64,

22当且仅当m=n=8时,mn取到最大值64. 1∴mn的最大值为32. 2

当a>0,b>0时,

p2a+b1.若a+b=p(和为定值),则当a=b时,积ab有最大值,可以用基本不等式ab≤42求得.

2.若ab=S(积为定值),则当a=b时,和a+b有最小值2S,可以用基本不等式a+b≥2ab求得.

不论哪种情况都要注意等号取得的条件.

巩固练习:

xy1.已知x,y∈R+,且满足+=1,则xy的最大值为________.

34解析:因为x>0,y>0,

xy所以+≥234答案:3 x22.函数y=(x≠0)有最大值________,此时x=________. x4+9解析:∵x≠0,∴x2>0. x21∴y==≤x4+99x2+x221=,

96x2·x21xy·=

34xy,即

3xy≤1,解得xy≤3,所以其最大值为3. 39当且仅当x2=,即x4=9,x=±3时取等号,

x2

1即当x=±3时,ymax=. 61答案:

±3 6五.课时小结

本节课,我们学习了重要不等式a+b≥2ab;两正数a、b的算术平均数(几何平均数(ab)及它们的关系(22ab),2ab≥ab).它们成立的条件不同,前者只要求a、2b都是实数,而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具,又是求函数最值的重要工具.我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题:

ab2a2b2ab≤,ab≤(). 22六.课后作业:课本第10页习题的第13题

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