2.4.1 抛物线的标准方程教案2

2019-06-11 15:50:00 | 14人点❤ | 1Y币
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教学设计

基本信息

学习领域/模块

卫雅楠

数学

高二

联系电话及邮箱

教科书版本及章节

选修2-1 北京市第二十中学

18201580068 1010522983@qq.com

人教B版 2.4.1

单元教学设计

单元学习主题

1.

单元教学设计说明

学习价值分析:圆锥曲线在数学和其他科学技术领域中,有着大量的应用。向太空发射人造地球卫星,机器制造、建筑以及各种工程建设中都需要应用圆锥曲线的性质。同必修2“平面解析几何初步”一章的学习一样,基于用数字表示点和用方程表示曲线的重要意义,用坐标方法研究曲线,是数学学习中一种极其重要的数学思想方法。

《高中数学课程标准(2017版)》要求高中数学教学应以发展学生数学学科核心素养为导向,创设合适的教学情境,启发学生思考,引导学生把握数学内容的本质。能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程:根据具体问题情境的特点,建立平面直角坐标系,根据几何问题和图形的特点,用代数语言把几何问题转化成为代数问题;根据对几何问题(图形)的分析,探索解决问题的思路;运用代数方法得到结论;给出代数结论合理的几何解释,解决几何问题。

本单元的学习可以充分发展学生的推理能力和运算能力,有助于培养学生数学运算、逻辑推理、数学抽象、直观想象、数学建模等数学核心素养。课标中指出:

1. 数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养。包括:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,选择运算方法,设计运算程序,求得运算结果等;

2.逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据规则推出其他命题的素养。主

第二章 圆锥曲线与方程

要包括从特殊到一般的推理以及从一般到特殊的推理两大类。

3. 数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象,得到数学研究对象的素

养。包括:从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的

联系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并用数学语言予以表征。

4. 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间

形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养。主要包括:借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路。

5. 数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法

构建模型解决问题的素养。数学建模过程主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、建立模型,确定参数,计算求解,检验结果、改进模型,最终解决实际问题。

2.单元学习目标与重点难点

1. 结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,了解两条曲线交点的求法;能根据曲线的已知条件求出曲线的方程,并初步学会通过方程来研究曲线的性质;了解圆锥曲线的实际背景,掌握椭圆和抛物线的定义、标准方程、几何图形及其简单性质;了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道双曲线的有关性质;能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题。

2. 经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程,让学生感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决问题中的作用;通过椭圆、双曲线和抛物线的标准方程的推导,使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法,并渗透数形结合和等价转化的思想方法,提高运用坐标法解决几何问题的能力;

3. 求曲线方程以及总结椭圆、双曲线和抛物线之间的区别和联系的过程中,培养学生的转化、全面分析、归纳、推理等能力,进一步提升学生的数学运算、逻辑推理、数学抽象、直观想象、数学建模等数学核心素养。

教学重点:能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程,掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和几何性质以及坐标法。

教学难点:需要一定的代数知识作为基础,有较高的对数式变形和解方程组的能力。

2.

单元整体教学思路(教学结构图)

曲线与方程

曲线的方程

画方程的曲线

圆锥曲线与方程一章整体的教学设计

2.5 直线与圆锥

曲线(1课时)

1.

掌握直线与圆锥曲线位置关系的判定,直线和圆锥曲线相交时弦长的计算,弦的中点及与之相关的问题等;

2.

在探究直线与圆锥曲线的位置关系的过程中,通过几何图形和代数方程的相互转化,能够培养学生的逻辑思维能力,运算能力,分析问题、解决问题的能力以及化归的思想。

课时教学设计

(在本单元内选择1-3课时进行撰写)

课题

2.4.1 抛物线的标准方程(一)

课型

章/单元复习课□ 专题复习课□ 习题/试卷讲评课新授课□□ 学科实践活动课□ 其他□

1.

教学内容分析

本节课的内容具有承上、启下的作用。它是前面所学的椭圆、抛物线的延伸,同时又是后续研究抛物线的几何性质的基础。一方面是三种圆锥曲线统一定义的需要,另一方面也是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化,同时也是对初中二次函数的图像的完美呼应。作为第二章《圆锥曲线与方程》的中间内容,在结构上体现了方程的推导、探索几何性质、应用等环节,

是对本章研究解析几何问题中“几何—代数—几何”这一思想的进一步强化。

2.

学习者分析

1、从知识储备及技能基础来说,这一节与前面的椭圆、抛物线的知识结构相同,研究方法为学生所熟悉,且始终贯穿着数形结合、化归、函数与方程的思想,学生的自主探究活动具备良好的基础。

2、从学生兴趣与需求分析,高中阶段是学生数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期,对探索未知世界有主动意识,对新知识充满探求的渴望。

3、作为高二年级的重点班,学生的水平介于普通班与实验班之间,大部分学生有较扎实的数学基本功和较好的理解力,有一定的自主学习能力,但在数学思想方法的形成上以及数学抽象能力尚有不足,以致于在由具体操作中抽象出抛物线的定义存在困难,此处教师需留出一定的时间,让学生进行小组交流,且教师加以合理引导。

3.

学习目标确定

1.理解抛物线的定义,会推导抛物线标准方程,能运用抛物线的相关知识解决一些简单问题.

2. 经历抛物线轨迹的作图过程,建构抛物线的概念,并探求抛物线的标准方

程,进一步掌握解析几何的基本思想方法,提高观察分析、对比概括的能力.

3. 感受“形”与“数”的联系,增加学习数学的兴趣,培养用运动变化的观

点分析问题的习惯,在学生积极参与学习的过程中,提升逻辑推理、数学运算等核心素养. 4.

学习重点难点

重点:抛物线的定义及其标准方程. 难点:抛物线标准方程的推导(坐标系的选取).

5.

学习评价设计

知识

能运用抛物线的相关知识解决一些简

单问题.

理解抛物线的定义,会推导抛物线标准方程

了解(A)

理解(B)

掌握(C)

灵活运用(D)

了解(A)

理解(B)

掌握(C)

灵活运用(D)

能力

能够快速、准确解决问题1(逻辑推理、数学运算能力)

5个结论(优秀)

4个结论(良好)

1~3个结论(合格)

没有结论(不合格)

能够独立分析问题2(逻辑推理、数学运算能力)

4个条件(优秀)

3个条件(良好)

1~2个条件(合格)

没有想法(不合格)

评价在课堂小结后学生自评

6.学习活动设计

教师活动

环节一:复习回顾、引出探究

教师活动

1

师1:前面我们学习了椭圆、双曲线,请大家一起说一下它们的定义。

等于常数(小于F1F2且不等于零)的点的轨迹叫

做双曲线.

学生活动

学生活动

1

生1:

1.平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆. 2.平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值

师2:椭圆、双曲线都是动点按照一定的几何条件运动所形成的轨迹,那么,今天我们将继续研究一种新的动点轨迹。

之前咱班选修通用技术的同学帮我们制作了6套学具,每组一套,以小组为单位,下面请各组组长组织本组成员按照学具使用说明进行动手实践。

活动意图说明:

通过复习回顾椭圆、双曲线的定义,让学生感受椭圆、双曲线都是动点按照一定的几何条件运动所形成的轨迹,进而引出探究,同时也为学生能够用数学语言概述抛物线定义做好铺垫;

预计学生障碍:极少部分学生不能精确复述椭圆、双曲线定义。

环节二:动手实践、探究概念

教师活动

2

“学具使用说明”:

学生活动

2

已知定点F与定直线l

1.取一把丁字尺靠紧画板左侧外延,丁字尺和直线l垂直相交于点P; 2.在丁字尺的另一端取一点Q;

3.将一条长度等于PQ的细绳,一端固定在点F,另一端固定在点Q; 4.用笔尖靠着丁字尺边缘并扣紧细绳,上下平移丁字尺,使笔尖滑动,画出一条曲

线.

师3:

请同学们在动手实践的过程中,思考讨论动点M(即笔尖对应点)满足怎样的几何条件?

师4:

学生实践操作,教师巡视。

MP、MF分别表示什么?你所画出

来的曲线,像之前你学过的哪种曲生3:

线?

MFMQ绳长=PQMPMQPQMPMF学生回答过程中,教师板书

生4:

师5:

我们把到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹叫抛物线,我们刚才绘制了一条抛物线。你能准确地给抛物线下个定义么?

抛物线

MP表示动点M到定直线l的距离;

MF表示动点M到定点F的距离;

生5:

定义:

平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.

定点F 叫做抛物线的焦点

定直线l叫做抛物线的准线

师6追问:若定点F在定直线l上,那焦点F 到准线l的距离叫做抛物线的焦准距,么动点的轨迹是什么图形?

设为p(p>0) 注:定点

F不在定直线

学生概括,教师补充

生6:

活动意图说明:

经历轨迹的作图过程,建构抛物线的概念,在实践中加深对抛物线几何特征的认识. 并且让学生准确概述抛物线的定义,进一步加深对定义的理解,为下面推导方程做好铺垫;

预计学生障碍:抽象概括抛物线定义,学生的数学抽象以及用数学语言表述的能力尚有不足。

环节三:亲身体验、确定方程

教的活动

3

师7:

这就是我们今天的第一个学习目标:理解抛物线的定义。那你现在能否根据抛物线的定义,推导抛物线的方程呢?

抛物线的标准方程:

学的活动

3

请3位建系方式不同的同学上讲台板演,其他同学在下面完成。

建立直角坐标系xOy, 使x轴经过点F且垂直于直线l,垂足为K,并使原点与线段FK的中点重合. 设FK=p(p>0),则焦点F的坐

p标为,0,准线l的方程为2p. 2设点M(x,y)是抛物线上任意一点,点M到l的距离为d,则xMFd,即:

pp(x)2y2x 类比椭圆双曲线的建立坐标系方式,学生讨22化简后得:

y2px(p0) 2论得出三种建系方式,学生分三组对方程进行推导. 分析不同建立直角坐标系方式下,曲线与方这个方程叫做抛物线的标准方程,它表示的抛物线焦点在

轴的正半轴上,p程对应关系,确定标准方程

p坐标是,0,准线方程是x.22其中p是焦点到准线的距离.

y22pxp2p 2p(x)2

y22px

y22pxp2p 2p(x)2

活动意图说明:

充分鼓励学生思考讨论,给学生更多的尝试空间,符合学生的认知规律. 并且让学生再一次经历求轨迹方程,同时感知曲线与方程对应关系: 建系不同,导致曲线平移变化,得到方程形式不同(结构相似),进而使学生建立起形与数的对应关系.

预计学生障碍:建系不同,导致运算量不同,个别学生的运算能力有待进一步提高;

环节四:开放性问题、发散思维

学的活动 4

教的活动 4

师8:现在我们完成了第二个学习目问题1:

标:会推导抛物线的标准方程。接下来,结论1:一条抛物线

你能否运用刚才所学的知识,解决一些结论2:焦点(1,0)

简单问题。

结论3:准线x1

问题1:已知y24x,你能得到哪些结论4:焦准距p2

信息?

结论5:可画出曲线

问题2:已知抛物线的顶点在坐标原

生8:

点,焦点在x轴正半轴上,请你再添加问题2:

一个条件,使得这个抛物线的方程为条件1:焦点(3,0)

y212x.

师9:

课后思考:

今天我们学习的抛物线与我们熟悉的二次函数有什么联系与区别?

活动意图说明:

条件2:准线x3

条件3:焦准距p6

条件4:过点(1,23)

通过开放性问题的设置,进一步加深学生对于抛物线的定义、标准方程、焦点、准线、焦准距的理解与掌握。

预计学生障碍:问题2中条件4,对于部分同学来说较困难,教师需给学生适当时间进行小组交流。

环节五:课堂小结、实际应用

学的活动 5

生10:学生尝试从知识、方法、核心素养教的活动 5

等方面进行总结,教师补充。

师10:谈谈这节课你有哪些收获?

数形结合

逻辑推理

待定系数法法

数学运算

定义

标准方程

简单应用

生11:

抛物线

师11:生活中处处都有抛物线的例子,你能列举几个么?

手电筒

师12(补充):太阳灶、天眼等都是利用抛物线的原理,有兴趣的同汽车车灯

学下去可以查阅相关资料。

探照灯

活动意图说明:

理清知识脉络,体会思想方法,提升核心素养和核心能力,最后联系生活实际,让学生感受生活中处处有数学,激发学生学习兴趣,最后介绍天眼这一让世人赞叹,让中国人骄傲的发明也是利用抛物线原理,激发学生的爱国主义情怀。

预计学生障碍:无法将知识上的收获升华到核心素养的提升上.

7.板书设计

2.4.1 抛物线的标准方程(一)

一、定义 MFd 焦准距:p(p0)

三、应用

问题1:焦点(1,0)

准线x=-1 焦准距p=2 问题2:焦点(3,0)

准线x=-3 焦准距p=6 过点(1,23)

学习目标:

1.理解抛物线的定义;

2.会推导抛物线的标准方程;

3.能运用抛物线的相关知识解决一些简单问题。

p2p

准线l:x

2二、标准方程:y22px(p0)

焦点F(,0)

8.特色学习资源分析、技术手段应用说明(结合教学特色和实际撰写)

本节课应用自制丁字尺学具、ppt辅助教学,自制丁字尺学具的使用使得学生动手实践亲自画出一条抛物线,并且在画的过程中能够更加直观的观察动点满足的几何条件进而得出抛物线的定义,通过小组合作、动手实践能够让学生更好的参与课堂,更好的启发学生,顺利生成抛物线的定义。ppt的使用能够增加不同的习题练习,节约板书习题的时间,同时也能提升学生学习兴趣,吸引学生眼球。

9.教学反思与改进

一、教学反思

1. 反思教学理念:新课程理念的灵魂是三个教学目标的整合,课堂教学中,要重视学生的参与、体验过程,但老师的指导作用也不可忽视。本节课教学中通过动手实践,探究概念,使学生对知识直接产生学习欲望,然后在学具的辅助下,通过小组交流,得到抛物线定义,引导学生类比椭圆、双曲线进行抛物线方程推导,最终得到抛物线的标准方程,这些都是学生自主探索得到,积极活跃的学习氛围使学生能够主动的参与到教学中来。

2、反思教学过程:

(一)动手实践、探究概念:数学概念的引入是数学概念教学的必经环节,通过这一环节使学生明确:“为何引入这一概念”以及“将如何建立这一概念”,

抛物线的引入大多采用初中学过的二次函数、投篮时篮球的运动轨迹、折纸、

描点等方式,前两种开门见山式的告诉学生所研究内容,不易激发学生的学习兴趣,后两种在得到抛物线后,不易得出抛物线的定义,综合考虑之后,本节课采用学具辅助,让学生自己动手画抛物线,再根据画图很容易得到动点满足的几何条件,极大的促进了学生对抛物线定义的理解。而“为何引入这一概念”在本课结束时点出,增加学生在课后继续对其研究的兴趣,也为下节课继续探究其性质做好铺垫。

(二)亲身体验、推导方程:教师启发引导学生联系前面所学的椭圆、双曲线的相关知识进行探究抛物线的方程,此处针对学生的三种不同建系方式,让学生充分实践,最终选择最简的形式作为抛物线的标准方程,真正让学生参与课堂,加深学生对几何问题代数化这一过程的理解与掌握,同时也有利于提高学生运算素养,增加几何问题代数化的意识,同时在这一过程中能够提升学生的逻辑推理能力,符合学生的知识生成规律。不足之处是教师可以在三种方程得出后指出其平移关系,使学生进一步升华对知识的理解。

(三)发散思维、实际应用:结合课本上的例题、习题,教师设计了相应的开放性问题,针对性较强。课堂及时落实学生对抛物线定义、标准方程的理解与掌握。最后点题,以世界奇迹“天眼”结尾,突出生活中处处有数学,增加学生的自豪感,提升学生对数学学习的兴趣与探究欲望。

二、完善与改进办法:

1. 动手实践部分阅读量较大,且考察学生的小组合作能力,可考虑给学生留出相对较多的时间。

2. 或者可考虑提前让学生查阅抛物线在生活中的应用,环节五中,让学生上台交流,效果也许会更好。

单元同步作业

1.

作业目标

1.

理解并掌握抛物线的定义及其标准方程;

2.

在应用抛物线定义、标准方程解决问题的过程中提升学生数形结合、转化、待定系数法、分析法等数学思想方法,培养学生逻辑推理、数学运算等核心素养. 2.设计思路

本节课同步作业重点是使学生理解抛物线的定义,掌握其标准方程,能够利用抛物线的定义求其标准方程或者已知其标准方程,通过定义解决一些综合问题;难点是学生能够灵活应用抛物线的定义、标准方程等解决相关问题。通过下述6个改编题目,进一步加深学生对抛物线的定义及其标准方程的理解与掌握, 提升学生数形结合、转化、待定系数法、分析法等数学思想方法,培养学生逻辑推理、数学运算等核心素养.

3.具体内容

1.(本题改编自2017北京西城二模)若抛物线y2ax的焦点在x轴正半轴上且

焦准距是1, 则a=(

B

) A. 1

B. 2

C. 4

D. 8 2.(本题改编自2016北京西城期末)若抛物线C:y22px的焦点在直线yk(x1)(k0)上,则实数p=___2____;抛物线C的准线方程为y24x. 3.(本题改编自2018北京东城一模)设抛物线C:y22px的焦点为F,抛物线上的点P到y轴的距离等于PF2,则抛物线的方程为y28x,其准线方程为x2. 4. (本题改编自2015北京延庆期末)已知抛物线C:y22px的焦点为F,准线为l,过抛物线C上的点A,点A横坐标为2,作准线l的垂线,垂足为M,若△AMF与△AOF(其中O为原点)的面积之比为3∶1,则抛物线的方程为y24x. 5. (本题改编自2017北京东城期末)过抛物线C:y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们的横坐标之和等于1,则这样的直线(

D

) A.有且仅有一条

B.有且仅有两条

C.有无穷多条

D.不存在

116.(本题改编自3年高考2年模拟练习)已知圆C过定点F(,0),且与直线x22相切,圆心C的轨迹为E (1)求曲线E的方程; 1(2) 经过F且斜率为3的直线m与曲线E相交于点A, AK垂直于直线x,2垂足为K, 求△AKF的面积. 1解:(1)由题意可知,圆心C的轨迹为以F为焦点,定直线x为准线的抛2物线,p1

曲线E的方程为y22x.

(2)由题意可知,直线

m:y3x3, 23313y3xA(,3)联立,可得或A(,)

2263y22xS#AKF3或39

4.使用建议

完成方式:课后作业

时限:40min

讲评:围绕较集中的问题,进行讲评,强化学生对抛物线的定义及其标准方程的理解与掌握。

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