2.基本不等式PPT专用教学设计内容

2020-05-23 13:47:36 | 20人点❤ | 1Y币
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教学课题

基本不等式abab

2知识与技能:学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并

课标要求

掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;

过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式;

情感目标:通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣;

认知层次

知识点

知识点一:

基本不等式及其推导

过程

知识点二:

基本不等式的应用

识记

理解

应用

综合

1.通过从不同角度探索不等式ab及其等号成立的条件;

目标设计

ab

的证明过程,使学生理解基本不等式22.掌握基本不等式解决最值问题,并理解运用基本不等式ab制条件(一正二定三相等)在解决最值中的作用。

教学情境一:

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,

会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,

颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。

问题1:你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?

ab的三个限2分析:将图中的“风车”抽象成如图,在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为a2b2。

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

我们考虑4个直角三角形的面积的和是S12ab,正方形的面积为S2a2b2。

由图可知S2S1,即a2b22ab.

当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有ab2ab。

新知:若a,bR,则ab2ab

教学情境二:

先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形,

再用这两个三角形拼接构造出一个矩形

(两边分别等于两个直角三角形的直角边,多余部分折叠).

假设两个正方形的面积分别为a和b(ab)

问题2:考察左图中两个直角三角形的面积与矩形的面积,你能发现一个不等式吗?

新知:若a,bR,则ab

问题3:你能用代数的方法给出它们的证明吗?

证明:因为a2b22ab(ab)20,即ab2ab.(当ab时取等号)

(在该过程中,可发现a,b的取值可以是全体实数)

证明:(分析法):由于a,bR,于是要证明 只要证明 ab2ab, 即证 ab2ab0,即 (ab)20,

所以222222b

a

ab

2abab, 2abab,(当ab时取等号)

2【板书】两个重要不等式

若a,bR,则abab(当且仅当ab时,等号成立)

2若a,bR,则a2b22ab(当且仅当ab时,等号成立)

教学情境三:学以致用,我们可以两个重要不等式来解决什么样的问题呢?

问题4:(1)用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆是多少?

(2)一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?

【板书】利用基本不等式求最值时,一定要注意三个限制条件(一正二定三相等)缺一不可。

例1:函数yx1,在下列哪个区间内有最小值,若有请求出;若没有,说明理由?

x(1)x0 (2)x0 (3)x1

例2:已知a,bR,ab1,

(1)求ab的最大值;(2)求

11的最小值;

ab※分享收获: 对于x,yR,

(1)若xyp(定值),则当且仅当ab时,xy有最小值2p;

s2(2)若xys(定值),则当且仅当ab时,xy有最大值.

4

习题设计

1.求下列函数的最值(利用基本不等式求最值)

(1)yx

(2)若x2,求yx

2.已知直角三角形的面积为50,两条直角边各为多少时,两条直角边的和最小,最小值是多少?

(利用基本不等式求最值;难度★★★)

1(x0)的最小值(难度★) x1的最小值(难度★★)

x2

3.下列函数的最小值为22的是:(一正二定三相等;难度★★★★)

A.yx22 B.ysinx,x0,

xsinx2 C.y

x2y2,xy0

D.

ylgx,x0,

yxlgx4.求下列代数式的最小值(一正二定三相等)

(1)已知x0,y0,且281,求xy的最小值.(难度★★★★)

xy(2)设x,yR,且xy2,求3x3y的最小值.(难度★★★★)

5.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m,深为3m,如果池底每1m的造价为150元,池壁每1m的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?

(利用基本不等式求最值;难度★★★★★)

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