2.1 函数概念教案公开课一等奖

2019-04-26 21:45:00 | 122人点❤ | 1Y币
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《函数概念》教学设计

南郑中学 邓坤

一、教材分析:

本节是高中数学必修1(北师大版)第二章第二节第一课时的内容。概念是思维的细胞。数学学习离不开推理,推理离不开判断,而判断是以概念为基础的。所以,理解概念是一切数学活动的基础,概念不清就会对后续学习产生不利影响。学生对概念理解和应用的水平也是衡量教学质量高低的最重要标准.因此,数学教师必须特别重视概念的教学。

自20世纪初,数学教育改革运动提出“以函数为纲”的口号以来,函数一直都被确立为数学教学的核心。函数不仅是一种重要的数学概念,也是一种重要的数学思想,它是联系中学代数主要内容的一条纽带。因此,函数概念的教学是数学教学中的一个重要课题。但是在中学阶段中也算是比较难的知识点。学生们想要一次性理解掌握函数的概念和思想,的确不容易。因此对函数概念教学的研究不仅是必要的,而且应是深入的。

二、设计思路:

1.指导思想:高中数学教学应提供基本内容的实际背景,在原有认知基础上建构新的知识和方法,提升学生的数学思维,使其站在较高的角度上用全面、发展的眼光看数学,促进学生形成数学应用意识,提高实践能力。在教学过程中体现学生的主体作用,在教师的引导下认识到函数是中学数学的主线,函数的概念一次又一次的扩张,就是前人思维困难的一次又一次的突破,从中我们可以看到函数概念的内涵不断被挖掘、丰富和精确刻画。

华东师大汪晓勤老师曾经做过对函数概念的调查,让学生根据自己的理解写出函数的定义,从调查中可以看出,即使在教材和教学的影响之下,也仍然有很多学生给出不同于教材、却类似于历史上数学家的回答.这表明,函数概念历史发展过程中的认识障碍也会成为今天课堂上学生的认知障碍.因此,在函数概念教学中,如果能恰当地借鉴历史,根据函数历史途径,选择学生容易接受的典型情景,探究函数概念,使学生在情景的识别与辨析中逐步体会它的形成过程,并且亲身感悟一次一次逐步抽象出函数概念的方法,这样有助于学生打破原有的思维定势,形成清晰的认识并对函数的概念达到深刻的理解。

2.教学目标:

(1)知识与技能:从集合与对应的观点出发,加深对函数概念的理解;了解函数概念的发展历史,认识到函数在中学数学学习中占有重要的基础地位。

(2)过程与方法:从生活实例入手,体会生活中有很多对应关系,回顾如何用集合与对应的语言来刻画函数。理解函数是一种特殊的对应关系,是从数量关系的角度描述运动变化规律的数学概念。

(3)情感态度与价值观:体会函数概念的形成与发展过程,函数是从数学角度反映千变万化的世界的重要模型。了解函数的历史,激发兴趣。

(4)核心素养:培养数学抽象能力,即从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并且用数学符号表示。

3.

重点与难点:

教学重点:函数的概念及yf(x)的理解与深化

教学难点:对函数概念理解掌握,认识“函数所反映的是对应与变化的思想”

三、教学准备:

高一学生学习了一次函数,二次函数,反比例函数等具体函数后,学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系,习惯用解析式表示函数,但不能全面、深刻的认识函数概念和函数应用。教师要重视函数在中学数学学习中占有重要的基础地位,借助具体函数理解符号yf(x)的含义,克服抽象概念带来的理解困难,提高理解和应用数学的能力。在教学过程中需要注意教学的方式与方法,通过创设情境,实例分析,活动探究的方法启发学生思考,务必要调动学生的主动意识,要选取合适例题素材引发讨论思考,从而使学生较深入的理解函数知识。因为函数学习的好坏对于学生的继续学习影响深远。

四、教学过程:

(一)创设情境

教师利用多媒体展示出学生两张图片,同时结合图片请学生思考讨论以下两个问题:

1.《重案六组》中有这样一个情景:技术人员根据案发现场的脚印,锁定疑犯的身高.你知道其中的道理吗? 2.小学生与职业相扑运动员,谁的饭量大?你能说明理由吗?

上述两个问题中都涉及两个量的关系,这一节课我们研究两个量的关系,研究怎样由一个量来确定另一个量——这就是我们本节课要学习的函数.

设计意图:通过生活中的实例,让学生体会数学最初最原始的概念都来源于生活,是对实际问题的分析研究,总结概括。

问题1:我们在初中学过哪些函数?

学生可能会回答具体的一次函数,二次函数等

问题2:同学们还记得初中函数的定义吗?说说看!

初中函数的定义:设在一个变化过程中有两个变量x,y,如果y的取值随x的变化而变化,我们就说y是x的函数,x叫自变量,y叫函数值。

设计意图:复习初中已学过的变量的观点下对函数的定义,为后面学习对应的观点定义函数作铺垫,以学生熟悉的情景入手建构“新知识”,使新知识和原知识形成联系,符合学生认知规律。让学生从变化的角度,完成对函数概念的第一次抽象认识。

(二)实例分析

例1. 假设某汽车行驶速度为60 Km/h,时间为t,则路程表示为S=60t。

例2. 一枚炮弹发射后,经过26秒落地击中目标,跑单的射高是845米。

由此我们可以得到炮弹离地面的高度h随时间t变化的规律是h130t5t

例3.

已知汉中某天6个整点时的气温绘制成的统计图,如下图。

2

从以上3个实例中,请同学们思考:

例1中,时间t与路程S之间是否具有依赖关系?能理解为一种对应吗?

例2中,从炮弹发射到落地的时间看成集合A,炮弹高度看成集合B,在A中任意一时间t在B中是否有唯一的高度h与它对应?是否有两个或多个高度与时间对应?

例3中,从时间的集合{8,10,12,14,16,18}到温度的集合{4.5,10.5,15.3,19.6,20.1,15.9}存在某种确定的对应关系?某一时刻会对应两个气温吗?

设计意图:通过前面几个例子的思考与分析,让学生从对函数的解析式理解过度到函数概念是两个变量间互相依赖关系的认识。重点向学生渗透集合与对应的观点,引出本节要学习的函数定义。

(三)抽象概括

问题3:综合上述几个例子,我们能发现他们有什么共同特征?

从集合的角度看,两个集合存在某种对应关系。

问题4:函数能否看成两个集合间的对应关系?如果能,我们怎样给函数下一个定义呢?

函数的概念:设A,B是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f:使集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素f(x)与之对应,那么就称对应关系f是定义在集合A上的函数,集合A叫定义域,函数值的集合叫值域。

函数的三要素:定义域,对应法则,值域。

问题5:函数概念的本质是什么?应注意什么?

师:函数是两个非空数集之间的对应关系,可以是一对一或多对一的,但不能一对多的。要注意:A,B都是非空的数集;A中任意,B中唯一;函数定义域为A,值域为{yyf(x),xA}B;④ f(x)是一个符号,不表示f与x的积,表示x经过f作用后的结果。

设计意图:通过提问引导学生自己归纳总结函数概念,感悟感念的形成过程,使学生对函数概念把握更准确,理解更深刻。

(四)应用巩固

1.(1)班上每个人的名字和自己的身高能否看成函数关系?学号与身高呢?

(2)几个不同的平面图形的周长与面积是一种函数关系吗?

(3)式子y=1是函数吗?为什么? 是,y=1可化为y=0x+1 设计意图:引发思考,强化对函数概念的理解。

2.与函数yx1是同一函数的是( )

x2130A. y B.y C.y(x1)2 D.y3(x1)

(x1)x1同一函数:具有相同定义域和对应法则的两个函数。

设计意图:考查同一函数的条件,让学生明辨函数的定义域和对应关系。

(五)深化理解

(1)寄信:一个信封上有两个地址“南郑中学

王老师收”以及“大河坎中学

张老师收”,此信发出去能收到吗?

设计意图:通过寄信这个实际问题,引出“一对一”与“多对一”的概念,从而让学生进一步理解函数的概念。

(2)讲述“函”字的古意:“盒子”“信封”,即传达消息或指示的信件(古代寄信用木函) 。如:函仪(信件礼物);函章(信件公文);函片(信件);函札(书信).

(3)中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》(1859年)一书时,把“function”译成“函数”的。中国古代“函”字与“含”字通用,都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义是:“凡式中含天,为天之函数.”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量.这个定义的含义是:“凡是公式中含有变量x,则该式子叫

做x的函数.”所以“函数”是指等式里含有变量的意思。

设计意图:通过了解“函”字的古意以及聆听李善兰翻译“函数”一词的故事,使学生在体验中获得对“函数”这一名词由来的认识,激发学习兴趣。

(六)拓展提升

1.我们学习了那些基本的函数? 一次函数ykxb,二次函数yax2bxc,反比例函数yk等多项式类x的函数,都是广义的幂函数。幂函数:yx,

为常数;指数函数:;对数函数:ylogax,(a0,且a1;④三角函数:yax,(a0,且a1))ysinx,

ycosx,

ytanx,

ycotx和⑤反三角函数。在数学中,以上五类函数统称为基本初等函数。

函数是中学数学的主体内容,它与中学数学很多内容都密切相关,初中的“函数及其图象”就属于函数的内容;高中我们将要学习的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等都是函数内容的主体。在学习函数及其图象的基础上,还学习函数的单调性、奇偶性、最值、周期性、有界性等等逐步来理解函数的概念。可见函数在整个中学数学中的核心地位。

2.函数小史 在笛卡尔引入变量以后,变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域.纵览宇宙,运算天体,探索热的传导,揭示电磁秘密等等,这些都和函数概念息息相关.正是在这些实践过程中,人们对函数的概念不断深化。

了解一下函数概念的发展史,对于刚学习了函数的同学们来说,虽然不可能有深刻的理解,但无疑对加深理解课堂知识,激发学习兴趣将是有益的。

最早提出函数(function)概念的,是17世纪德国数学家莱布尼茨.最初莱布尼茨用“函数”一词表示幂,如x,x2,x3都叫函数。以后他又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标。

1718年,莱布尼茨的学生、瑞士数学家贝努利把函数定义为:“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量.”意思是凡变量和常量构成的式子都叫做的函数.贝努利所强调的是函数要用公式来表示.后来数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式来表达上,只要一些变量变化,另一些变量能随之而变化

就可以.至于这两个变量的关系是否要用公式来表示,就不作为判别函数的标准.

1755年,瑞士数学家欧拉把函数定义为:“如果某些变量,以某一种方式依赖于另一些变量,即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随着变化,我们把前面的变量称为后面变量的函数.”在欧拉的定义中,就不强调函数要用公式表示了,由于函数不一定要用公式来表示,欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数,他认为:“函数是随意画出的一条曲线.”

当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯,有的数学家甚至抱怀疑态度.他们把能用公式表示的函数叫“真函数”,把不能用公式表示的函数叫“假函数”.

1821年,法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义:“在某些变数间存在着一定的关系,当一经给定其中某一变数的值,其他变数的值可随着而确定时,则将最初的变数叫自变量,其他各变数叫做函数.”这里,首次出现了自变量一词.

1834年,俄国数学家罗巴切夫斯基进一步提出函数的定义:“函数是这样的一个数,它对于每一个都有确定的值,并且随着一起变化.函数值可以由解析式给出,也可以由一个条件给出,这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法.函数的这种依赖关系可以存在,但仍然是未知的.”这个定义指出了对应关系(条件)的必要性,利用这个关系,可以求出每一个的对应值.

1837年,德国数学家狄里克雷认为怎样去建立x与y之间的对应关系是无关紧要的,所以他的定义是:“如果对于x的每一个值,总有一个完全确定的y值与之对应,则y是x的函数”.这个定义抓住了概念的本质属性,变量y称为x的函数,只须有一个法则存在,使得这个函数取值范围中的每一个值,有一个确定的值和它对应就行了,不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式.这个定义比前面的定义带有普遍性,为理论研究和实际应用提供了方便.因此,这个定义曾被比较长期的使用着.

自从德国数学家康托尔的集合论被大家接受后,用集合的对应关系来定义函数概念就是现在高中课本里用的了。

3.大家可以利用网络收集资料,了解函数的发展过程和广泛应用。也可找到一些具体的函数,如:取整函数,符号函数,狄利克雷函数等。

设计意图:渗透数学文化,加深理解课堂知识激发学习兴趣。函数是数学的

重要内容之一,其理论和应用涉及数学的各个分支。特别是中学阶段,函数始终是贯穿的一条主线。著名数学家M·克莱因说过,一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考。所以有必要让学生了解函数的发展历史,有利于学生深入理解函数并提升学习兴趣。

(七)小结及作业

1.你能举出两个生活中的函数的例子吗?对“函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型”有什么体会?

2.函数概念内涵是什么?构成函数的要素有哪些?

作业:学案 课本练习

五、教学反思:

新课程理念提倡教师在教学中选择恰当的素材,创设一个有利于教学发展的情景。本节课从学生熟悉的生活入手,创设丰富的情景,开门见山指明本节课的学习内容.但仔细研究引入内容的实质,会发现脚印与身高、体重与饭量之间是存在着相关关系,但不一定是函数关系,如果探究二者的关系似乎也高出初学者的实际水平.二者只有在特定范围内才可能是函数关系,而且这种函数关系中既包含一对一,也包含多对一.

概念的引入在遵循结构性原则,参与性原则,激发性原则等的前提下,可以从数学知识发展的需要引入,也可以从实际应用的需要引入,还可以通过类比引入以及复习旧课引入等.人的发展是在无数代前辈人的全部经验总和的基础上进行的.人在掌握前人的经验时要简略地重演前人获得相应经验的过程,“我们所赖以生活的一切和我们所占有的一切,本身都带有社会起源的痕迹”(巴索夫语,1926).因此当我们考察和研究学生的数学学习过程时,必须注意研究作为人类社会生活经验结晶之一的数学概念的发展过程.这种历史的方法反映了认识由远及近,由模糊至清晰,由粗略到精确的过程,是我们在教学中值得借鉴的.

通过以上的分析,我们根据学生的情况,借鉴函数的历史的发展,对函数概念围绕着一条明线和一条暗线展开探究.明线为两个变量,暗线为函数概念在历史上的几次演变过程.学生在探究函数概念的过程中,经历了三次函数概念的扩张,并最终归纳、总结、抽象、概括出现行高中课本中的函数概念.

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