集合的含义与表示课堂实录

2019-05-27 10:52:00 | 129人点❤ | 1Y币
温馨提示:以下是纯文字版预览,格式可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。

集合的含义与表示

【教学目标】

1.知识与技能

(1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,掌握集合的表示方法,会用集合的语言表述一些数学对象. (2)通过具体例子,了解集合中元素的确定性、无序性与互异性. (3)掌握常用数集及其记法. 2.过程与方法

(1)通过对集合概念的学习,渗透集合体现的分类思想;

(2)通过对集合表示方法的学习,知道列举法与描述法的适用范围. 3.情感、态度与价值观

提高学生分析和解决问题的能力,在知识的探索和发现过程中,增强学生学好数学的自信心,发展自主学习的能力. 【教学重点与难点】

重点:集合的含义与表示方法. 难点:运用列举法与描述法正确表示一些简单的集合. 【教学方法】

讲授与合作探究相结合

【教学手段】

多媒体辅助教学

【教学过程】

创设情境,导入新课

“物以类聚,人以群分”,请同学们观察下列两张图片:

图片1 渔网中的所有鱼

图片2 仓颉中学高二理(3)班的所有学生

在数学中,如何给上述“某些特定对象的总体”起一个名称呢?如何来表示它呢?本节课我们一起学习集合的含义与表示. 互动交流,探究新知

一、集合的相关概念

1.集合的概念

问题:请同学们分析上述两个实例,概括其共同特征,你能给出集合的定义吗?

一般地,指定的某些对象的全体称为集合,通常用大写字母表示,如:A,B,C,D,…,集合中的每个对象叫作这个集合的元素,通常用小写字母表示,如:a,b,c,d,…

思考:请同学们列举一些集合的例子. 如:仓颉中学的所有学生;高中语文课本必修1所有的汉字;某中学上学期期末考试数学成绩在90分以上的所有学生;高一(7)班的所有女生;高二理(3)班身高170cm以上的所有学生;所有的等边三角形;平面内到线段两端点的距离相等的所有点;平面内到定点的距离等于定长的所有点;方程x210的所有实数解等等.

2.集合中元素的性质

(1)确定性:对于一个给定的集合,它的元素是确定的,即任何一个对象,或者在给定的集合中,或者不在给定的集合中,两者必居其一.也就是说,不确定的对象就不能构成集合.如:“高二理(3)班学习成绩优秀的学生”就不能构成一个集合,因为“成绩优秀的学生”没有明确的标准,组成它的元素是不确定的. (2)无序性:集合中的元素是平等的,没有先后顺序的,如:由1,3,5组成的集合与由3,1,5组成的集合是同一个集合. (3)互异性:对于一个给定的集合,集合中的元素是互不相同的,也就是说,集合中的任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时,只

能算作集合中的一个元素。如:“school”中字母构成的集合是{s,c,h,o,l},而不能写成{s,c,h,o,o,l}.

3.元素与集合的关系

问题1:对于图片1,用A表示渔网中的所有鱼构成的集合,用a表示该渔网中的一条鱼,用b表示该渔网外的一条鱼.a,b与集合A分别有什么关系?

问题2:对于图片2,用B表示仓颉中学高二理(3)班的所有学生构成的集合,用c表示该照片中的一位学生,用d表示高二理(1)班的一位学生.c,d与集合B分别有什么关系?

由此可见,元素与集合之间的关系有两种:属于和不属于. (1)属于:若a在集合A中,就说a属于集合A,记作aA;

(2)不属于:若a不在集合A中,就说a不属于集合A,记作aA. 注:元素a与集合A之间的关系,由集合中元素的确定性可知,要么aA,要么aA,两者必居其一;符号,仅表示元素与集合之间的关系,具有方向性,左边是元素,右边是集合.

4.常用数集及其记法

数的集合简称数集,为了书写方便,下面是一些常用的数集及其记法:

(1)自然数集:自然数(即非负整数)组成的集合,记作N; (2)正整数集:正整数组成的集合,记作N或N; (3)整

集:整数组成的集合,记作Z; (4)有理数集:有理数组成的集合,记作Q; (5)实

集:实数组成的集合,记作R.

二、集合的表示方法

1.列举法

观察下列集合:

(1)大于2小于10的所有正整数组成的集合;

(2)中国古代四大发明组成的集合. 【师】问题1:你能一一列举出上述两个集合中的元素吗?

【生】能.(1)中的元素为3,4,5,6,7,8,9;(2)中的元素为造纸术、印刷术、指南针、火药. 【师】问题2:如何将上述两个集合表示出来呢?

【提示】引入列举法. 列举法:把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法.其一般格式为x1,x2,...,xn.如:大于2小于10的所有正整数组成的集合可以表示为{3,4,5,6,7,8,9};中国古代四大发明组成的集合可以表示为{造纸术,印刷术,指南针,火药}. 注:使用列举法表示集合时,

(1)大括号内的元素用“,”隔开;

(2)元素满足集合元素的三个性质:确定性、无序性、互异性;

(3)当元素个数较少时,常用列举法表示集合;当元素个数较多或有无限多个时,如果集合中的元素具有明显的规律,在不会产生误解的情况下,可用列举法表示,只需列举出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示,如:所有正偶数组成的集合可表示为{2,4,6,8,...}. (4)a与{a}不同:a表示一个元素,{a}表示一个集合,该集合只有一个元素a. 2.描述法

观察下列集合:

(1)不等式x14的解集;

(2)函数yx2的图像上的所有点. 【师】问题1:你能用列举法将上述两个集合中的元素一一列举出来吗?

【生】不能. 【师】问题2:如何表示上述两个集合呢?

【提示】引入描述法. 描述法:用确定的条件表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法. 一般格式:xAP(x).其中,x是代表元素,A是x的取值集合,p(x)表示集合中元素x的共同特征.含义:在集合A中满足条件p(x)的所有x的集合.具体方法:在大括号内先写上表示这个集合的代表元素及其取值集合,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.如大于1且小于6的实数组成的集合可以表示为xR1x6.在不会发生误解的情况下,x的取值集合可以省略不写,若一个集合中的元素都是在实数集R中取值,“R”常省略不写,xR1x6可简记为x1x6.

例如:不等式x14的解集可以表示为xx5;函数yx2的图像上的点集可以表示为x,yyx2. 注:若元素个数较多且元素间无明显规律的集合,或者根本不能一一列举的集合,常用描述法表示.在不致混淆的情况下,可以省略竖线及左边的部分,用文字把元素的共同特征表述出来并写在大括号内,如:{直角三角形},{整数},{小于6的实数}.大括号{ }已经包含“所有”“全体”“全部”的意思,所以写成{整数集}、{全体整数}是错误的. 3.列举法与描述法的正确选择

问题:如何根据具体问题选择适当的集合表示方法呢?

(1)有些集合的公共属性不明显,难以概括,不便用描述法表示,只能用列举法.如:集合a2,2a2a,6. (2)有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来,或者不便于、不需要一

一列举出来,常用描述法.如:集合{(x,y)|yx21}

三、集合的分类

根据集合中元素的个数,集合可以有以下的分类:

1.有限集:含有有限个元素的集合,如:{3,4,5,6,7,8,9};

2.无限集:含有无限个元素的集合,如:所有正偶数组成的集合可以表示为{2,4,6,8,...};

3.空集:不含有任何元素的集合,记作,如:{xR|x220}就是空集. 典例透析,思维突破

例1

下列各组对象不能构成集合的是(

A.不超过20的非负实数

B.方程x210在实数范围内的解

C.某个班级中年龄小的同学

D.某中学身高超过170厘米的在校学生

分析:对于A,任给一个实数x,可以明确地判断x是不是“不超过20的非负实数”,A中对象可以构成一个集合;

对于B,方程x210在实数范围内的解为x1或x-1,能构成集合

1,-1;对于C,因为“年龄小的同学”没有明确的标准,所以C中对象不能构成一个集合;

对于D,“身高超过170厘米”有明确的标准,D中对象能构成一个集合. 答案:C. 例2

用列举法表示下列集合:

(1)由大于3小于10的整数组成的集合;

(2)方程x290的解的集合. 分析:将集合中的元素一一列举出来,写在大括号内即可. 解 (1)4,5,6,7,8,9;

(2)-3,3.

例3

用描述法表示下列集合:

(1)不小于10的所有有理数组成的集合;(2)所有偶数组成的集合;

(3)直线y2x1上的所有点组成的集合;(4)方程x24x160的实数解集. 分析:用描述法表示集合时,关键明确集合的代表元素及其满足的特征.

(1)xQx10;

(2)xx2n,nZ

(3)

x,yy2x1;(4)xx24x160.

随堂演练,巩固提高

1.下列集合中,空集是( ). A.{0} B.大于8且小于2的实数组成的集合

C.方程3-x20的实数解组成的集合

D.大于0且小于2的自然数组成的集合

分析:本题考查空集的概念.

答案:B.

2.下列四个条件:

(1)某个班上聪明的学生;(2)中国人民解放军的十大元帅;(3)所有的大三角形;(4)方程x22x10的实数根. 其中能组成一个集合的是(

). A.(2)(3)

B.(2)(4)

C.(1)(4)

D.(1)(2)

分析:判断指定的对象的全体能否构成集合,关键是看该对象作为集合的元素是否具有确定性、互异性和无序性. 答案:B. 3.已知集合Mxx4n,nN,则下列元素属于集合M的是(

). A.0

B.2007

C.2008

D.2009 分析:本题考查集合描述法的含义. 答案:C. 4.(1)用列举法表示集合xZ01x4为_____________________;

(2)用描述法表示平面直角坐标系内纵、横坐标互为倒数的所有点组成的集合为_____________________;

(3)用适当的方法表示“第二、第四象限内的点集”_____________________;

(4)用适当的方法表示“被7除余1的数”的集合为_____________________. 分析:本题考查集合的表示方法. 0,1,2

答案:(1)-1,(2)x,yxy1

(3)x,yxy0

(4)xx7n1,nZ.

归纳总结,提升认识

(学生完成)

(1)本节课你学到了什么数学知识?

(2)本节课用到了什么数学思想?

(3)本节课你有什么启发?

布置作业

教材习题1-1 A组 3,4;B组 2.

点击下载
登录 后发表评论
最新评论