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等差数列、等比数列的综合应用(解答题专题复习)

班级:高二(5)

授课时间:20180523

授课人:黄决胜

最新考纲展示

1.理解等差或等比数列的概念.

2.掌握等差或等比数列的通项公式与前n项和公式.

3.能在具体的问题情境中识别数列的等差或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.

教学目标:理解等差或等比数列的概念.掌握等差或等比数列的通项公式与前n项和公式.能在具体的问题情境中识别数列的等差或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.学会方程思想与化归转化思想处理等差与等比的综合问题。

教学重点:掌握等差或等比数列的通项公式与前n项和公式,能熟练运用;能在具体的问题情境中识别数列的等差或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.学会方程思想与化归转化思想处理等差与等比的综合问题。

教学难点:具体的问题情境中识别数列的等差或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.学会方程思想与化归转化思想处理等差与等比的综合问题。

教学手段:多媒体辅助教学

一、知识梳理:

热点一

等差数列、等比数列的运算

(1)通项公式

等差数列:an=a1+(n-1)d;

等比数列:an=a1·qn1. -(2)求和公式

na1+annn-1等差数列:Sn==na1+d;

22a11-qna1-anq等比数列:Sn==(q≠1).

1-q1-q(3)性质

若m+n=p+q,

在等差数列中am+an=ap+aq;

在等比数列中am·an=ap·aq. 热点二

等差数列、等比数列的判定与证明

数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法

(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法:

①利用定义,证明an+1-an(n∈N*)为一常数;

②利用中项性质,即证明2an=an-1+an+1(n≥2).

(2)证明{an}是等比数列的两种基本方法:

an+1①利用定义,证明(n∈N*)为一常数;

an②利用等比中项,即证明a2n=an-1an+1(n≥2).

热点三

等差数列、等比数列的综合问题

解决等差数列、等比数列的综合问题,要从两个数列的特征入手,理清它们的关系,

用到转化与化归的思想方法和方程思想;数列与不等式、函数、方程的交汇问题,可以结合数列的单调性、最值求解.

二、典型例题

例1.(2013·高考课标全国卷Ⅱ)

已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.(1)求{an}的通项公式;(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2. 解析

(1)设{an}的公差为d.由题意,得a211=a1a13,

即(a1+10d)2=a1(a1+12d).于是d(2a1+25d)=0. 又a1=25,所以d=-2或0(舍去).故an=-2n+27. (2)令Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2. 由(1)知a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列.

nn从而Sn=2(a1+a3n-2)=2(-6n+56)=-3n2+28n. 规律方法

对于等差、等比数列的综合问题的分析,应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和;分析等差、等比数列各项之间的关系,往往用到转化与化归的思想方法.

例2. (2016年高考新课标2)(17题)(本题满分12分)已知an是公差为3的等1b=1,b=,anbn1bn1nbn,. 差数列,数列bn满足123(I)求an的通项公式;(II)求bn的前n项和. 31.

【答案】(I)an3n1(II)223n1

(II)由(I)和anbn1bn1nbn

,得bn1比数列.记bn的前n项和为Sn,则

bn1,因此bn是首项为1,公比为的等3311()n331.

Snn1122313规律方法

等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程(组),因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 例3.(17届高三市检测17题)

已知{an}是等差数列,满足a11,a45,数列{bn}满足b11,b421,且anbn为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列{bn}的前n项和Sn. 2.解:(1)设an的公差为d,anbn的公比为q,

da4a12,

41ana1(n1)d1(n1)(2)2n3.

a1b12,a4b416,q41a4b48q2,

a1b1anbn22n12n,

bn2nan2n2n3.

(2)Snb1b2b3bn

(211)(221)(233)(2n2n3)

(2122232n)(1132n3)

2(12n)(12n3)n

1222n1n22n2

[规律方法]

解决等差数列与等比数列的综合问题,关键是理清两个数列的关系.如果同一数列中部分项成等差数列,部分项成等比数列,要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究;如果两个数列通过运算综合在一起,要从分析运算入手,把两个数列分割开弄清两个数列各自的特征,再进行求解.

练习:

(2014·高考北京卷)已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn-an}为等比数列.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列{bn}的前n项和.

[解]

(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意得

a4-a112-3d=3=3=3,所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).

设等比数列{bn-an}的公比为q,由题意得

b4-a420-12q3===8,解得q=2. b1-a14-3所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.从而bn=3n+2n-1(n=1,2,…).

3-(2)由(1)知bn=3n+2n1(n=1,2,…).数列{3n}的前n项和为2n(n+1),

n1-2-数列{2n1}的前n项和为=2n-1. 1-23所以,数列{bn}的前n项和为2n(n+1)+2n-1. (备用)例4. .(2017年高考17题)记Sn为等比数列an的前n项和,S3=-6. 已知S2=2,(1)求an的通项公式;

(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列。

规律方法

证明一个数列{an}为等差数列的基本方法有两种:

(1)利用等差数列的定义证明,即证明an+1-an=d(n∈N*).

(2)利用等差中项证明,即证明an+2+an=2an+1(n∈N*).

等比数列的判定方法

证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.

小结:1.解决等差数列与等比数列的综合问题,关键是理清两个数列的关系.如果同一数列中部分项成等差数列,部分项成等比数列,要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究;如果两个数列通过运算综合在一起,要从分析运算入手,把两个数列分割开弄清两个数列各自的特征,再进行求解.2.对于等差、等比数列的综合问题的分析,应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和;分析等差、等比数列各项之间的关系,往往用到转化与化归的思想方法.3.等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程(组),因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种

行之有效的方法.

配套练习:

1.已知等差数列{an}满足a2=2,a5=8.(1)求{an}的通项公式;

(2)各项均为正数的等比数列{bn}中,b1=1,b2+b3=a4,求{bn}的前n项和Tn. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,

a1+d=2则由已知得,

a+4d=81∴a1=0,d=2. ∴an=a1+(n-1)d=2n-2. (2)设等比数列{bn}的公比为q,则由已知得q+q2=a4. ∵a4=6,∴q=2或q=-3.∵等比数列{bn}的各项均为正数,∴q=2. b11-qn1×1-2nn∴{bn}的前n项和Tn===2-1. 1-q1-2

2.

已知an是首项为19,公差为-2的等差数列,Sn为an的前n项和.(Ⅰ)求通项an及Sn;(Ⅱ)设bnan是首项为1,公比为3的等比数列,求数列bn的通项公式及其前n项和Tn. 3. 已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列。

(1)求数列{an}的通项公式;

4n(2)令bn=(-1)n-1,求数列{bn}的前n项和Tn。

anan+12×14×3解析:(1)因为S1=a1,S2=2a1+2×2=2a1+2,S4=4a1+2×2=4a1+12,

由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,所以an=2n-1。

解析:(2)bn=(-1)n-1114n4nn-1n-1+。

=(-1)=(-1)anan+12n-12n+12n-12n+1当n为偶数时,

11111112n1++Tn=1+3-3+5+…+2n-32n-1-2n-12n+1=1-=。

2n+12n+1当n为奇数时,

1112n+211111Tn=1+3-3+5+…-2n-3+2n-1+2n-1+2n+1=1+=。

2n+12n+14. (2014年高考大纲全国卷)数列{an}满足a1=1,a2=2,

an+2=2an+1-an+2. (1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列;

(2)求{an}的通项公式.

解析:(1)证明:由an+2=2an+1-an+2得,

an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.又b1=a2-a1=1. 所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列.

(2)由(1)得bn=1+2(n-1),即an+1-an=2n-1. nn于是∑

(ak+1-ak)=∑

(2k-1),

k=1k=1所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1. 练习:(2014·高考课标全国卷Ⅰ)已知数列{an

}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.

(1)证明:an+2-an=λ;

(2)是否存在λ,使得{an }为等差数列?并说明理由.

[解]

(1)证明:由题设知anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1,

两式相减得an+1(an+2-an)=λan+1,

由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.

(2)由题设知a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.

由(1)知,a3=λ+1.

令2a2=a1+a3,解得λ=4.

故an+2-an=4,由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;

{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.

所以an=2n-1,an+1-an=2,

因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.

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