习题3—3优秀教案板书设计

2020-02-14 19:48:50 | 19人点❤ | 1Y币
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第2课时

指数函数的图像与性质的应用

●三维目标

1.知识与技能

(1)掌握和指数函数有关的简单图像变换.

(2)能根据指数函数的性质解决有关函数单调性、奇偶性的讨论问题.

(3)注意指数函数的底数的讨论.

2.过程与方法

(1)通过师生之间、学生与学生之间的互相交流,使学生成为一个会与别人共同学习的人.

(2)通过探索、比较复杂函数与简单初等函数的关系,培养学生利用化归思想解决问题的能力.

3.情感、态度与价值观

(1)通过讨论比较复杂的函数的单调性、奇偶性,使学生感知知识之间的有机联系,感受数学的整体性,感受并体会数学中的化归思想的巨大作用及其在生活中对处理生活琐事的指导作用,激发学生的学习兴趣.

(2)在教学过程中,通过学生的相互交流,增强学生数学交流能力,合作学习的能力,同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.

●重点难点

重点:讨论含有指数式的比较复杂的函数的单调性和奇偶性.

难点:将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较简单的函数的有关问题.

讨论含有指数式的比较复杂的函数的单调性和奇偶性是本课的教学重点.将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较简单的函数的有关问题以及在解决具体实际问题中目标函数模型的确立、目标函数的定义域的确立是本课的教学难点.

1.理解并掌握指数函数的图像和性质.(重点) 课标解读

2.掌握函数图像的简单变换.(易混点) 3.能运用指数函数的有关性质去研究指数型函数的性质.(难点)

【问题导思】

若已知函数f(x)=2x的图像.

1.如何得到f(x)=2x-1函数图像的变换

的图像?

【提示】

向右平移1个单位.

2.如何得到f(x)=2x-2的图像?

【提示】

向下平移2个单位.

13.如何得到f(x)=()x的图像?

2【提示】

作f(x)=2x关于y轴的对称图像.

4.如何得到f(x)=-2x的图像?

【提示】

将f(x)=2x的图像以x轴为对称轴翻折到x轴下方.

1.平移变换

a>0,左移a个单位(1)左右平移:y=f(x)a<0,右移――→|a|个单位y=f(x+a) 特征:左加右减:

k>0,上移k个单位(2)上下平移:y=f(x)k<0,下移――→|k|个单位y=f(x)+k

特征:上加下减.

2.对称变换

关于x轴(1)y=f(x)――→y=-f(x);

对称关于y轴(2)y=f(x)――→y=f(-x);

对称关于原点(3)y=f(x)――→y=-f(-x).

对称3.翻折变换

y轴左侧部分去掉,保留y轴右侧部分,把y轴(1)y=f(x)右侧部分以y轴为对称轴翻折到――→y轴左侧

y=f(|x|).

x轴下侧部分去掉,保留x轴上侧部分,把x轴下侧(2)y=f(x)――→y=|f(x)|. 部分以x轴为对称轴翻折到x轴上侧

函数图像的作法

1

利用函数f(x)=()x的图像,作出下列函数的图像:

2(1)f(x+1);(2)-f(x);(3)f(-x).

1【思路探究】

作出y=()x的图像→明确f(x)与f(x+1),-f(x),f(-x)图像间的关系

2平移变换――→分别得出图像

对称变换

1【自主解答】

作出f(x)=()x的图像,如图所示:

2(1)f(x+1)的图像:需将f(x)的图像向左平移1个单位得f(x+1)的图像,如图(1).

(2)-f(x)的图像:作f(x)的图像关于x轴对称的图像得-f(x)的图像,如图(2).

(3)f(-x)的图像:作f(x)的图像关于y轴对称的图像得f(-x)的图像,如图(3).

1.利用已知的函数图像作图,主要运用图像的平移、对称等变换,平移变换需分清楚向何方向移,要移多少个单位,如(1);对称变换需分清对称轴是什么,如(2)(3).

2.利用变换作图,一般步骤是:

选基函数→写出变换过程→画图像

函数y=2|x|的图像是(

)

2x≥0,【解析】

法一

由于y=2|x|=1x所以A正确.

x<0,2偶函数保留y轴右侧部分,法二

y=2|x|――→对称变换并对y轴右侧部分翻折到左边――→y=2|x|,知选A. 【答案】

A

求下列函数的单调区间:

(1)y=3x2-2x+7;(2)y=4x-2·2x+5. 【思路探究】

将复合函数写成y=f(u),u=φ(x)的形式,然后利用复合函数的单调性与指数函数有关的复合函数

x

求解.

【自主解答】

(1)函数的定义域为R,对u=x2-2x+7=(x-1)2+6,当x≥1时,u为增函数,x≤1时,u为减函数,又3>1,

∴函数y=3x2-2x+7的增区间为[1,+∞),减区间为(-∞,1].

(2)令2x=t,则t是x的增函数,

y=t2-2t+5=(t-1)2+4,

当t≥1,即2x≥1,即x≥0时,y是t的增函数;

当t≤1,即2x≤1,即x≤0时,y是t的减函数;

又函数的定义域为R,

∴函数y=4x-2·2x+5的单调增区间是[0,+∞),减区间是(-∞,0].

1.求函数的单调区间,首先求函数的定义域,对复合函数的单调性,应注意y=f(u)与u=g(x)单调性的一致性和相反性.

2.在复合函数中,一般情况下,如果两个函数都是增函数或都是减函数,则复合函数是增函数;如果两个函数一增一减,则复合函数为减函数,简称“同增异减”.

1

(1)函数y=()x2-3x+2的单调增区间是________.

2(2)y=(2-1)-x2+2x+3的单调增区间是(

) A.(1,+∞)

B.(-∞,1]

C.(1,3)

D.(-1,1) 3111【解析】

令u=x2-3x+2=(x-)2-,令y=()u在定义域内是减函数,而求y=()x224223-3x+2的增区间,只需求u的减区间,∴x∈(-∞,].

2(2)函数y的定义域为R,u=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;x≥1时,u是减函数,又0<2-1<1,∴y的增区间为(1,+∞).

3【答案】

(1)(-∞,]

(2)A 2

指数函数的综合问题

517+

已知函数f(x)=2x+2axb,且f(1)=,f(2)=. 24(1)求a,b的值;

(2)判断f(x)的奇偶性并证明;

(3)判断并证明函数f(x)在[0,+∞)上的单调性,并求f(x)的值域.

【思路探究】

(1)将两个已知条件代入解析式即可求a,b;(2)求出函数的定义域,再依据奇偶性的判断方法求解;(3)依据单调性的证明步骤给出过程,再依据单调性求值域.

【自主解答】

(1)∵17f2=,45f1=,2

∴根据题意得f2=2+225+f1=2+2ab=,22a+b17=,4

解得a=-1,

b=0.

故a,b的值分别为-1,0. (2)由(1)知f(x)=2x+2x,f(x)的定义域为R,关于原点对称.

-因为f(-x)=2x+2x=f(x),所以f(x)为偶函数.

-(3)设任意x11,

所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

当x=0时,函数取得最小值,为f(0)=1+1=2,

所以f(x)的值域为[2,+∞).

1.指数函数的单调性与底数有关,因此讨论指数函数的单调性时,一定要明确底数与1的大小关系.与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关,其解决方法一般是利用函数单调性的定义.

2.指数函数本身不具有奇偶性,但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性,其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质.

设a为实数,f(x)=a-2(x∈R).

2+1x(1)证明f(x)在R上为增函数;

(2)试确定a的值,使f(x)为奇函数.

【解】

(1)证明:设x1,x2∈R,x1

f(x1)-f(x2)=(a-=22)-(a-) 2x1+12x2+122x1-2x2. 2x1+12x2+1

由于指数函数y=2x在R上为增函数,且x1

所以2x1<2x2,即2x1-2x2<0. 又由2x>0,得2x1+1>0,2x2+1>0. 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

故f(x)在R上为增函数.

(2)若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),

即a-22=-(a-x).

2+12+1-x22变形得2a=-x+x

2+12+122x+12·2x2=-x+=x=2. 2+1·2x2x+12+1解得a=1.所以当a=1时,f(x)为奇函数。

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